Beta and the Banana Birds

Nos cursos de ADM e ECO, o beta é uma coisa que de uma forma ou de outra sempre estará presente. Começa em finanças I com o CAPM e aparece em quase todas as matérias do CFC ao longo do curso.

Em Fin I, a explicação dada é bastante técnica e muita gente não entende o que é o CAPM nem o que é o beta. Em Private Equity, usamos um outro livro que tem uma ótima explicação metafórica do que é o beta.

Basicamente é a estória de uma comunidade de

  • 100 habitantes em que cada um tem uma ilha com 100 bananeiras.
  • Cada bananeira produz 200 bananas/ano
    • O que nos dá um total de 2 milhões de Bananas por ano
  • Essas quantidades são dadas e fixas, o que é uma das premissas do CAPM, os ativos são dados e fixos. 
  • Os indivíduos são racionais e insaciáveis de modo que ter mais bananas é melhor do que ter menos bananas, por mais que eles já estejam sem fome. 
  • A utilidade marginal das bananas é decrescente. A utilidade agregada pela centésima banana é menor do que a utilidade agregada pela primeira banana. Da mesma forma que a história do Adam Smith sobre o copo d'agua no deserto; 
  • Todo ano, uma passarinhada ataca metade das ilhas e come toda a produção presente nelas. 
    • As ilhas sofrem disso aleatoriamente
    • Esse ponto caracteriza o risco de mercado, que estará presente em qualquer tipo de investimento que for feito
    • Por causa disso, a produção mundial esperada é de 1 milhão de bananas por ano, sendo que o outro dos 2 milhões é comido pelos pássaros
    • Lembre que cada bananeira produz 200 bananas/ano. Com os pássaros, há 50% de chance de produzir 200 e 50% de produzir 0; resultando numa produção esperada de 100 bananas/ano
O gráfico mostra a curva de utilidade das bananas(não é a reta AD, mas a curva AD... por mais errada que esta frase esteja). Lembrando que a primeira banana adiciona grande utilidade ao nativo e a utilidade marginal vai caindo.
    • Dado que a produção esperada é de 10 mil bananas e que, sem diversificação, há 50% de chance de conseguir 20 mil e 50% de conseguir 0; espera-se que os nativos encontrem uma forma de chegar ao ponto C e garantir que todos tenham 10 mil bananas.
  • Para isso acontecer, um nativo decide criar uma empresa que tem como ativos as 100 bananeiras de sua ilha. São criadas 100 ações dessa empresa, cada uma valendo uma bananeira. Dessa forma, ao vender suas ações esse nativo acaba tendo bananeiras em outras ilhas e seus acionistas, de certa forma, também.
    • O retorno esperado para cada nativo é zero pois, literalmente, ele trocou seis por meia-dúzia. Árvore por árvore, ele espera receber as 100 bananas que a sua árvore deveria produzir.
    • Porém, com a diversificação, ele reduziu a sua chance de terminar o ano sem nenhuma banana. Por outro lado também diminuiu a sua chance de terminar o ano com 20 mil bananas.
    • No momento em que todos viram que a idéia é boa e a adotam, o ponto C é atingido.
  • Agora, dado que o sistema financeiro funciona; qualquer ilha que a passarinhada ataque, os nativos continuam tendo uma renda de 10 mil bananas/ano. Veja o gráfico a seguir:
A diversificação fez com que eles saltassem de uma curva como a azul para uma curva como a vermelha.
  • Agora introduzimos outro risco ao modelo, o tempo. 
    • há 50% de chance de ser um ano ensolarado(que resulta numa produção de 150 bananas/árvore) e 50% de ser um ano chuvoso(produção de 50 bananas/árvore)
    • A produção esperada por árvore é 150*50%+50*50%= 100 bananas
  • Note que o tempo é o mesmo para todas as ilhas, então, diversificar não vai adiantar em nada

Aqui fica a refelxão: o risco dos pássaros é maior(0 ou 200), mas não afeta todas as "empresas" ao mesmo tempo. Já o tempo afeta todas ao mesmo tempo, mas seu risco é menor(50 ou 150). Disso tiramos que o benefício da diversificação não é por que há uma variância maior, mas sim por quê há uma covariância menor. É aqui que entra o beta. Beta é uma medida de covariância entre o mercado como um todo e seus agentes(veja que matematicamente ele vem da covariância entre o ativo e o mercado). Assim, percebe-se que o principal motivador de risco financeiro é a covariância, pois ela não pode ser combatida com a diversificação dos investimentos.

Leiam o Brigham para uma explicação mais matemática do assunto. Abaixo segue o preview do Google Books do livro do qual tirei esse exemplo de CAPM/Mercado. Independente desse capítulo, o livro é muito bom. Recomendo a compra e a eletiva de Private Equity.


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